Espaces vectoriels normés - 2CMT1A

Objectif(s)

Aborder les concepts mathématiques qui permettent d'introduire les notions de convergence, de limite, de continuité pour des suites et des fonctions à valeurs dans des espaces plus généraux que les réels ou les complexes.

Contenu(s)

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Normes, distances
• Boules et sphères
• Parties bornées d’un evn, voisinages, ouverts, fermés
• Comparaisons des normes
• Intérieur, adhérence, frontière
• Distance d’un point à une partie
• Suites dans un evn, limites, propriétés, valeurs d'adhérence
• Limites, continuité, fonctions lipschitziennes
• Continuité des applications linéaires, norme subordonnée
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Compacité, théorème des bornes atteintes.
• Cas de la dimension finie, théorème de Bolzano-Weierstrass, équivalence des normes en dimension finie, continuité des applications linéaires et des polynômes en dimension finie

Connaître la définition d'un espace vectoriel, d'une application linéaire.
La connaissance du cours de première année sur les suites et la continuité des fonctions n'est pas à proprement parlé un prérequis mais elle permet d'avoir déjà certaines notions en tête.
De la même façon, le chapitre de calcul différentiel en plusieurs variables du tronc commun du S3 donne une introduction sur les notions de topologie qui seront abordées dans ce chapitre.