Mathématiques - 2CMMA3

Contenu(s)

Intégrales généralisées (4,5H CM – 9H TD)

• Intégrale d’une fonction bornée au voisinage d’un point (« fausses » intégrales généralisées), calculs
• Intégrales généralisés de fonctions positives: critère de comparaison, Intégrales de Riemann, critère de Riemann
• Intégrales généralisées de fonction non positives : fonction absolument convergentes, et étude de sin(x)/x

Algèbre linéaire (partie IV) : Réduction des endomorphismes (7,5H CM – 12H TD)

• Eléments propres d’un endomorphisme : valeur propre et vecteur propre, spectre, sous-espaces propres.
• Somme directe, sev stables par un endomorphisme et représentation matricielle,
• Polynôme caractéristique, lien avec les valeurs propres, multiplicité d'une valeur propre,
• Diagonalisation, th. fondamental, cas particuliers importants,
• Application : calcul des puissances de A,
• Polynômes d'endomorphisme et de matrice, polynôme annulateur, lien avec les valeurs propres, th. Cayley Hamilton, CNS de diagonalisation
• Applications : calcul de l'inverse et des puissances d'une matrice, lien avec la diagonalisation
  *Calcul différentiel en plusieurs variables (de R^n (n=2 ou 3) dans R)* (6H CM – 9H TD)
• Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles,
• Application différentiable, continûment différentiable,
• Opérations sur les différentielles,
• Difféomorphismes, jacobien, changement de variables,
• Formule de Taylor-Young à l’ordre 2
• Points critiques, extrema, formes différentielles en dimension 2 et 3
• Application à la résolution d’EDP

Séries numériques (6H CM – 9H TD)

• Séries à termes positifs : majorations, équivalents, critères de Riemann et de d’Alembert
• Séries de signe non constant : séries absolument convergentes, critère spéciale des séries alternées, ou développements asymptotiques,
• Comparaison série à termes positifs et intégrales, produit de deux séries absolument convergentes (propriétés de l’exponentielle)

Probabilités (Partie II) Probabilités sur un univers dénombrable (4,5H CM – 6H TD)

• Rappel du cas d’un univers fini et généralisation au cas dénombrable
• Variables aléatoires sur un univers dénombrable, Espérance, variance,
• Lois usuelles : loi de Poisson et loi Géométrique